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那个“最大的数”的爸爸去世了

原创 栗子 果壳 图丨Peter Vider 数学家葛立恒(Ronald Graham)去世了,享年84岁。

原创 栗子 果壳

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Peter Vider

数学家葛立恒(Ronald Graham)去世了,享年84岁。

他留给世界最著名的遗产,大概是葛立恒数了。

那是一个神奇的数,作为“数学证明里出现过的最大的数”存在了很长时间。

假如你还不认识它,就从现在开始吧。

葛立恒数在哪里

既然,葛立恒数是数学证明里出现的数,那葛立恒老师当时在研究一道怎样的数学题?

我们彼此相识,我们互不相识

讲到他的题目之前,必须先介绍拉姆齐定理。这条定理讲的是:

有一群人,不论他们之间有怎样的相识关系,如果要保证当中必有k个人两两认识,或者l个人互不相识,要有多少人才行?一定存在一个最小值R(k,l)。

也许,这样描述之后你还没有什么实感,那就代入简单的数字试一试:

有一群人,不论他们之间有怎样的相识关系,如果要保证当中必有3个人两两认识,或者3个人互不相识,要有多少人才行?一定存在一个最小值R(3,3)。

现在,把每个人看成一个顶点,任意两点可以连成一条边,认识连红色,不认识连蓝色。这样,每两点之间定有一条边。假如要保证必能找到一个红色三角形,或者一个蓝色三角形,求至少需要多少个顶点。

答案是6个顶点,要怎样证明呢?

假如有5个顶点 ,就可能找不到纯色三角形:

那个“最大的数”的爸爸去世了

5个三角形皆非纯色。注意只有外侧5个顶点代表人类,中间那些交叉点不是人类,所以形成蓝色“小三角形”也不代表有3人互不相识,不能作数丨Rzukow

假如有6个顶点,一个顶点会发射5条边,由于只有两种颜色,必有3条边同色,假设同为红色:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Snorri95

这3条红色边,对应了另外的3个顶点,这3点之间也要连线,非红即蓝。假如其中有1条红边,立刻构成红色三角形:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Snorri95

假如3条全是蓝边,立刻构成蓝色三角形:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Snorri95

因此,只要有6人,不论他们相识关系如何,都能保证其中必有三人两两认识或互不相识。而5人却无法保证这一点。也就是说,存在最小值R(3,3)=6。

看到这里,你大概知道拉姆齐定理在描述怎样的景色了。

葛立恒老师,便是在拉姆齐定理这个方向颇有建树。不过令他发现葛立恒数的那道题目,又比上面这个例子复杂不少。

刚刚我们沉浸在二维世界里,只考虑了图上的三个顶点能不能保证构成纯色三角形。而葛老想的是,在三维四维或者更高维度的世界里,能不能保证有一个平面上的四边形是纯色。

所以,生活在三维世界的我们,想遇见葛立恒数,也需要先体会一下多维空间的样子。

在多维世界相识

从二维空间开始,是几维空间,就能画出几条两两垂直的坐标轴。

二维空间里,有x轴和y轴互相垂直:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Igsims96

三维空间里,有x,y,z三条坐标轴两两垂直:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Igsims96

四维空间里,就有x,y,z,w四条坐标轴两两垂直:

那个“最大的数”的爸爸去世了

图丨Igsims96

五维六维七维八维……多少维都适用。

继续类比,二维空间有正方形,三维空间有立方体,那四维空间里的“立方体”什么样?

从一维到四维丨Vitaly Ostrosablin

正方形有4个顶点,立方体有8个顶点,四维超立方体有16个顶点……n维超立方体,就有2^n个顶点。

一个四维超立方体,包含了8个三维立方体(看起来像棱台的都是立方体)。

那个“最大的数”的爸爸去世了

四维超立方体在三维空间的投影丨Mouagip

现在,终于可以开始描述葛老当年研究的题目了:

在一个n维立方体里面,把每两个顶点都连接起来,就会得到有2^n个顶点的完全图。连接用的线或红或蓝。至少要在多少维的空间里,才能保证不论怎样选色,必有一面纯红或纯蓝?

用三维立方体举个例子,一面纯色代表4个顶点对应的6条边都是同种颜色(不是4条边):

那个“最大的数”的爸爸去世了

面也不一定是(超)立方体自带的面,可以是后期两两连接顶点形成的丨SiBr4

1971年,葛老和小伙伴一起证明了,的确存在最小的维度,可以保证一面纯色。

虽然没有证明究竟是多少维,但他们给出了一个非常巨大的上界:

那个“最大的数”的爸爸去世了

这就是葛立恒数,代表那个最小的维度一定比这个数要小。

看到这里,关键问题出现了,这个数有多大?

“宇宙放不下”

葛立恒数,大就大在那些箭头(↑)上。

这个运算符号,是计算机科学家、图灵奖得主高德纳老爷爷发明的。

单箭头没有什么特别,就是“次方”的意思:

那个“最大的数”的爸爸去世了

单箭头丨作者供图

双箭头可以分解成单箭头,肉眼可见地迅速变大:

那个“最大的数”的爸爸去世了

二箭头丨作者供图

三箭头可以分解成双箭头,到这里已经是大到难以想象的大数了:

那个“最大的数”的爸爸去世了

三箭头丨作者供图

四箭头可以分解成三箭头:

那个“最大的数”的爸爸去世了

四箭头丨作者供图

假如再把三箭头分解成双箭头,这个式子就会变出3↑↑↑3个项,后果不堪设想,所以就在这停顿吧。不过,四箭头也只是整个塔的第一层而已。

再来欣赏一次64层塔的全貌:

那个“最大的数”的爸爸去世了

你能想象它有多大么?

可观测的宇宙大约是个直径920亿光年的球体,而宇宙间最小的有意义的可测量长度普朗克长度大约是1.6×10^(-35) 米,一旦超过这个极限,现有的一切物理定律就都不适用了。

假设1个直径为普朗克长度的小球可以装下一位数,那么这部分宇宙可以装下1.6×10^185位数。看上去不少了,但对葛立恒数来说,这到底算多大呢?

找个参照物:有一个数叫做googolplex(简称GP),是10^(10^100)。也就是说,它有10^100+1这么多位数。但3↑↑↑3的大小已经超过了GP,3↑↑↑↑3的大小更超过了GP↑↑GP:

那个“最大的数”的爸爸去世了

3↑↑↑↑3是塔的最底层丨作者供图

GP^(GP^GP)的位数应远远超过了可观测宇宙能容纳的1.6*10^185位,但还不及葛立恒塔的第一层3↑↑↑↑3。这样看来,可观测的宇宙能容纳的位数,在葛立恒数面前过于渺小。

于是,葛立恒数在1980年获得了“数学证明中出现过的最大的数”这项吉尼斯世界纪录。

假如讲到这里,你依然没感觉到它究竟有多大,还有一种著名的说法可以参考:大脑如果要储存这个数,便会因为信息熵过大而坍缩成一个黑洞。

一数更比一数高

不过,这个传奇般的大数,还是在后来的日子里被更大的数击败了。

比如TREE (3) ,自它诞生之后,葛立恒数也显得微不足道。

而它除了大之外,还有一个更迷人的特质,就是可玩性。可以说,这是个从一个画树游戏里画出来的大数,而树叶的颜色有3种。

那个“最大的数”的爸爸去世了

画树四个回合丨Numberphile

第一回合画的树只能有一片叶,第二回合最多两片,第三回合最多三片……并辅以一些有趣的附加条件,比如后面画的那棵树,如果去掉一些叶片后成了之前的树,那就是犯规了。

并且,如果你觉得TREE(3) 太难,还可以从TREE(1) 开始玩。祝各位成功打开大数之门。

参考文献

[1] Graham’s Number. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html

[2] Ramsey Theory. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/RamseyTheory.html

[3] 大老李聊数学. (2017, December 12). 画树画出一个大数. Retrieved from https://dalaoliblog.wordpress.com/2017/12/12/%E7%94%BB%E6%A0%91%E7%94%BB%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E6%95%B0-

作者:栗子

编辑:odette

一个AI

禁止套娃。

那个“最大的数”的爸爸去世了

本文来自果壳,未经授权不得转载.

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作者: admin

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